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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=complex_number,complex_plane
!set gl_title=Module d'un nombre complexe
!set gl_level=H5 STI2D&nbsp;Spcialit , H6 Gnrale&nbsp;Experte
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<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition</h4>
Soit les rels \(x\) et \(y\) et soit \(z\) le nombre complexe dfini par
 <span class="nowrap">\(z=x+\mathrm{i} y\).</span><br>
On appelle <strong>module</strong> de \(z\) le nombre rel, not
<span class="nowrap">\(\left\|z\right\|\),</span> dfini par&nbsp;:<br>
   <div class="wimscenter">
   \(\left\|z\right\| = \sqrt{x^2+y^2}\)
   </div>
</div>
<div class="wims_rem">
<h4>Remarque</h4>
Le module d'un nombre rel est gal  sa valeur absolue.
</div>
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<div class="wims_thm">
  <h4>Proprit (interprtation gomtrique)</h4>
Le plan complexe est muni d'un repre orthonorm
 \((\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\).
<br>
Soit \(z\) un nombre complexe et \(\mathrm{M}\) le point d'affixe <span class="nowrap">\(z\),</span> on a&nbsp;: <span class="nowrap">\(\left\|z\right\| = \mathrm{OM}\).</span>
</div>
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<div class="wims_thm">
<h4>Proprits immdiates</h4>
<ul>
<li>
Pour tout \(z\in \CC\), <span class="nowrap">\(\left\|z\right\|^2 = z \bar{z}\).</span>
</li>
  <li>
  Pour tout \(z\in \CC\), <span class="nowrap">\(\left\|z\right\|\geqslant 0\).</span>
  </li>
  <li> Pour tout \(z\in \CC\), \(\left\|z\right\| = 0 \) si et seulement si <span class="nowrap">\(z = 0\).</span>
  </li>
  <li>Pour tout \(z\in \CC\), <span class="nowrap">\(\left\|-z\right\| = \left\|z\right\|\).</span>
  </li>
  <li>Pour tout \(z\in \CC\), <span class="nowrap">\(\left\|\bar{z}\right\| = \left\|z\right\|\).</span>
  </li>
</ul>
</div>
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<div class="wims_thm">
  <h4>Thorme</h4>
<ul>
<li>
Pour tous \(z_1\in \CC\) et \(z_2\in \CC\),
<span class="nowrap">\(\left\|z_1 z_2\right\| = \left\|z_1\right\|\times \left\| z_2\right\|\).</span>
</li>
<li>Pour tout \(z\in \CC^*\), <span class="nowrap">\(\left\|\frac{1}{z}\right\| = \frac{1}{|z|}\).</span>
</li>
<li>
Pour tous \(z_1\in \CC\) et \(z_2\in \CC^*\),
 <span class="nowrap">\(\left\|\frac{z_1}{z_2}\right\| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\).</span></li>
</ul>
</div>
